Autore: Leonardo Carrassi*
« Dopo che mia madre aveva tentato senza successo di abortire, venni alla luce il 24 settembre 1501. Come morto sono nato, anzi sono stato strappato al suo grembo.»
“Nelle avversità gli amici mi dettero aiuto, gli adulatori suggerimenti”.
Girolamo Cardano medico e matematico italiano Nacque a Pavia, figlio non legittimo del notaio Fazio Cardano, amico del grande Leonardo da Vinci.
Ebbe una vita ricca di avventure e molto complicata, documentata dalla sua autobiografia (il De vita propria), pubblicata postuma nel 1643. Cardano ebbe sovente problemi economici e per tirare a campare diventó esperto di gioco d’azzardo e scacchi. Intorno al 1560 scrisse un libro sulle probabilità nel gioco, il Liber De Ludo aleae, testo che tuttavia venne pubblicato circa un secolo dopo; il libro riporta la prima trattazione sistematica della probabilità, assieme ad una parte dedicata a metodi per barare in modo efficace.
Nel 1663 venne quindi pubblicata a Lione l’opera di Gerolamo Cardano. In questa pubblicazione è contenuto il De Ludo Aleae sul giuoco dei dadi. Partendo dall’ipotesi di grandi guadagni, il medico iniziò ad applicarvi il calcolo matematico, battezzando cosí il moderno calcolo delle probabilità. Per una vera trattazione completa sulla probabilità bisognerà tuttavia attendere le due opere Ars Conjectandi di J. Bernoulli (1713) e Doctrine des chances di De Moivre (1718).
Il De Ludo Aleae viene ristampato nel 2003 dal compianto Vanni Bossi, studioso di fama mondiale nel campo della prestigiazione, presidente del Club Arte Magica di Milano (Clam), e prestigiatore che per i lettori di questo blog non ha bisogno di presentazioni.
Dell’antico trattato è stata fatta un’eccellente traduzione, inoltre sono stati aggiunti diversi contributi che abbracciano le tematiche trattate nell’opera, dalla matematica al gioco d’azzardo.
L’opera di Cardano in principio analizza le probabilità di ottenere almeno un 1 con un dado, poi con due, infine con tre, successivamente affronta il più complesso problema delle somme dei valori coadiuvando il trattato con i metodi per barare al gioco. Questo fino al capitolo quindici, dopodichè passa al giuoco delle carte di cui non parleró in questo articolo.
Un dado: equiprobabilità
Nel capitolo 9 Girolamo Cardano dice: “in sex revolutionibus singula puncta evenire deberent” che tradotto significa: su sei lanci dovrebbero verificarsi i singoli valori. Ci spiega dunque che teoricamente su un totale di 6 lanci dovrebbero uscire tutti e 6 i valori. Dice in realtá che tutti i valori nel lancio di un dado sono equiprobabili ( p = 1/6 ). Precisa quindi che questa equiprobabilità è dovuta alla simmetria del dado.
Afferma “dovrebbero” poichè in realtà puó accadere che un valore si presenti più di una volta. Si può quindi individuare tra le righe un’intuizione sulla legge dei grandi numeri: facendo diverse giocate le possibilità che si verifichi l’uscita di un particolare numero si avvicina sempre di più a 1/6 delle giocate in totale. Due secoli dopo Bernoulli formulerá tale intuizione im modo esplicito.
Nello stesso capitolo afferma inoltre che 1,3,5 posseggono le medesime probabilità di 2,4,6, ovvero: la probabilità che si verifichi un numero dispari è uguale alla probabilitá che venga un numero pari. Come rapporto casi favorevoli/casi possibili 1,3,5 sono tre valori favorevoli e 2,4,6 sono tre valori non favorevoli: tre valori favorevoli su sei possibili ci danno 3/6 = ½ delle possibilitá che si verifichi un valore dispari e ½ che si verifichi un valore pari.
Cardano chiamava circuitus l’insieme dei 6 risultati possibili. L’intero spazio delle possibilità è ½ + ½ = 1, ovvero che il complementare di un evento con probabilità p è un evento con probabilità 1 – p
Due dadi: teorema del prodotto logico o delle probabilità composte
Cardano scrive che con 2 dadi le possibilità totali sono 36.
Invece che ottenere tale risultato da 6 possibilità per il primo dado moltiplicate per 6 possibilitá per il secondo, lo ricava affermando: 6 sono i punteggi simili ( 1,1 ) ( 2,2 ) (3,3 ) ( 4,4 ) ( 5,5 ) ( 6,6 ) e 15 i punteggi dissimili (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6), a cui si sommano altri 15 punteggi dissimili gemelli (reciproci). Infatti 6 + 15 + 15 = 36.
Dice giustamente che le possibilitá che si verifichi almeno un 1 sono 11/36.
Afferma altresí che giocando 2 volte 2 dadi le possibilitá sono più di 1/6 ma meno di 1/4 dell’equalità ( ovvero di ½ ). Difficile capire quale intuizione lo abbia portato a ció. Difficilmente l’ha dedotto provando tutte le disposizioni, visto che sono 36*36 = 1296 e che se le avesse provate tutte con tutta probabilitá avrebbe dato un risultato esatto.
Provare l’esattezza di tale risultato è abbastanza semplice: avendo prima dimostrato che per un tiro di 2 dadi il risultato è 11/36 è normale, sempre per il prodotto logico, che per 2 tiri scorrelati tra loro le probabilità sono (11/36)*(11/36)=121/1296 che effettivamente sono meno di un quarto dell’equalità (1296/2) / 4 = 162 e più di un sesto dell’equalità (1296/2) / 6 = 108. Con probabilitá a Cardano interessava riportare il valore a un quarto ed un sesto per ragiobi legate alla posta in gioco.
Tre dadi
Cardano deduce giustamente che con 3 dadi le probabilitá (disposizioni) sono 216, dunque l’equalità è 216/2 = 108. Commette poi un errore, dicendo che le probabilità di ottenere almeno un 1 sono 108. Successivamente riporta il valore esatto che è 91.
Anche in questo caso Cardano non ci dice come arriva alla soluzione, ma con logicavsi puó utilizzare il modo sovraillustrato: ottenere almeno un 1 è il complementare di non ottenere alcun 1. Le possibilitá di ottenere nessun 1 con 3 dadi sono (5/6)*(5/6)*(5/6)=125/216, dalle quali le possibilitá di averne almeno un 1, ovvero 1 – p = (216/216)-(125/216) = 91/216 sono di poco inferiori alla metà.
Somma di punti
Cardano studia il primis il problema più complicato della somma di punti e lo fa con buoni risultati. Afferma che con 2 dadi, ad esempio, 10 può essere ottenuto in 2 modi (5,5) (4,6) ma il secondo modo (4,6) ha un reciproco (6,4) per cui le possibilitá sono 3 su 36 = 1/12.
Aleatorietà
I dadi stimolano i matematici a venire a capo ai problemi relativi al caso, ossia non deterministici. Non esiste una formula per determinare il valore che uscirà. Ecco spiegato il perché i fenomeni non deterministici sono oggi definiti aleatori, da Alea (dado), appunto.
